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Lecture 2 | Red Black Tree & B+ Tree#

说明

而为了提高笔记整理效率,可能会考虑用更多的引用和更简单的语言。如果您觉得有哪里说的不够清楚,请直接在评论区狠狠 blame 我!


红黑树#


概念#

顾名思义,红黑树(Red Black Tree)就是一种节点分类为红黑两色的,比较平衡的二叉搜索树。只不过不同于 AVL 树,红黑树的“平衡”性质是通过黑高(black height)来定义的。接下来依次给出红黑树的定义和黑高的定义。

Red Black Tree

红黑树是满足如下性质的一种二叉搜索树:

Properties of RBTree

\@cy's PPT

  1. Every node is either red or black.
  2. The root is black.
  3. Every leaf (NIL) is black.
  4. if a node is red, then both its children are black.
  5. For each node, all simple paths from the node to descendant leaves contain the same number of black nodes.

ch 老师说,希望我们能把这五条性质熟练记住,怎么可能(逃)

说明

由于这里的“叶子结点”被重新定义了,为了描述方便,我现在称所有两个子结点都是 NIL 的结点为末端结点(也就是通俗意义上的叶子结点)。而这个定义只是我自己说说的

\@Wiki
  1. Every node is either red or black.
  2. All NIL nodes (figure above) are considered black.
  3. A red node does not have a red child.
  4. Every path from a given node to any of its descendant NIL nodes goes through the same number of black nodes.
\@OI Wiki
  1. 每一个节点要么是色,要么是色;
  2. NIL 节点(空叶子节点)为色;
  3. 色节点的子节点必须为色;
  4. 从根节点到 NIL 节点的每条路径上的色节点数量相同;

black height, bh

特定节点的黑高,等于该节点到叶结点到简单路径中(不包括自身),黑色节点的数量。

接下来为了加深理解,有一些辨析可以做:

下图的红黑树是否合法?

不合法。

16 号节点的右儿子是一个黑叶子,而这个叶子到根的路径上只有 3 个黑节点,而其他叶子到根都有 4 个黑节点。

所以我们需要警惕只有一个非叶儿子的红色节点

下图的红黑树是否合法?

合法。


根据 T1 的解析,我们得到这样一个结论:

合法红黑树不存在只有一个非叶子节点的红色节点!

or

合法红黑树的红色节点的两个子节点一定都是叶子或都不是叶子!

此外,关于红黑树的高,我们有如下性质:

property about height of RBTree

一个有 \(N\) 个内部节点(不包括叶子结点)的红黑树,其高度最大为 \(2\log_2 (N+1)\)

the proof of the property

关于黑高和点数的关系

  1. 首先我们有 \(N \geq 2^{bh}-1\),也就是 \(bh \leq \log_2 (N+1)\)
  2. 然后显然有 \(2 bh(Tree) >= h(Tree)\)

操作#

提醒

我们这里介绍的都是 bottom-up 的思路,不同于 AVL 树,红黑树是存在 top-down 的操作方法的,而这也是红黑树一个非常强大的优势,存在 top-down 的处理方法意味着我们可以进行更快的并行操作。但是我们不在这里详细展开。

同 AVL 树的调整操作类似,红黑树的调整操作也是左右对称的,所以我们也仍然只讨论一侧。


插入#

我们知道,对黑高有贡献的只有黑色节点,因此 NIL 节点被一个红色节点置换并不会改变一颗红黑树的黑高,因为红色节点还会有一层 NIL 子节点;然而对于红色节点,却有着红色结点互不相邻的限制。

因此,“插入”操作的主要思路就是,先将整个红黑树当作一个普通的二叉搜索树,将目标数据插入到树的末端(也就是置换一个 NIL 节点),并将它染为红色,再调整使之在保证黑高不变的情况下,满足红色节点不能相邻的要求。

现在,我们记这个被插入的节点为 x,任意一个节点 node 的家长节点为 node.p,则:

  1. 如果 x.p 是黑色的,那么我们不需要做任何调整;
  2. 如果 x.p 是红色的,那么我们需要进行调整;
    • 此时因为原来的树符合红黑性质,x.p.p 必定存在(红 x.p 不能是根)且必定是黑色的;

根据这些讨论,我们就能列举出来一个红色的点被插入后,在 2. 的情况下所有的初始情况,即下面第一张图。

由于红黑树的操作中,有一部分需要进行递归转移,而其中中间步骤出现了很多同构的结构,所以为了简化说明,我们对其进行统一,所有情况都被归纳为上面第二张图。

而第二张图中提到的橙色结点,也就是标为“被插入的红色节点”的结点,实际过程中并不一定指的是被「插入」的那个点,也可能是在 case 1 向上递归时,简化的原来那颗子树。换句话来说,这里的“被插入的红色节点及其子树”,实际上可能是指「导致红黑性质被破坏的红根子树」。

接下来我们来讨论各种情况要怎么处理。

说明

这里 case 1 ~ case 3 的编号主要是为了和课程 ppt 对标,但是接下来你会发现我是按照 case 3 -> case 1 来介绍操作的,这是因为我觉得这样安排更合理,而非排版混乱。

Insertion / case 3

对于 case 3, 我们高兴地发现,这样的一次染色和一次旋转刚好能让这棵子树完成调整!

Insertion / case 2

对于 case 2,我们可以直接进行一个 Rotation 操作将它转化为 case 3。

但是实际上,细心的小朋友已经发现了,从 case 2 -> case 3 -> done 的过程 实际上就是一个 LR Rotation!

Insertion / case 1

对于 case 1,图中的两种情况是等价的。所以我们只展示其中一种。

我们只需要将图中的根节点染红,将根的两个子节点染黑,类似于将黑节点“下放”。

通过第一步操作,我们可以保证这整个子树必定平衡不影响家长节点的黑高(除了家长是根的情况)且红点不邻的。

然而我们并不知道这个根的家长节点是否是红色节点,因此做分类讨论。倘若其根的家长节点是红色节点,那么我们还需要向上递归,继续调整,根据实际情况转化为其他 case;若这子树的根没有家长节点,则直接染黑红根即可;而倘若子树根节点的家长节点是黑节点,那么我们就调整完毕了。

在这三个过程中,我们观察到,只有 case 1 的转化会导致我们递归向上,而 case 2 向 case 3 的转化并不会导致我们改变关注的子树的范围。

为了更清晰地看出各个方法之间的转化关系,于是我们可以画一个状态机:

graph LR; A["case 1"] B["case 2"] C["case 3"] D(["finish"]) A ===>|"C"| B --->|"R"| C A ===>|"C"| A --->|"C"| D A ===>|"C"| C --->|"C&R"| D

注意,状态机中的粗线表示转换过程中,我们关注的“子树”向上攀升了一级;而细线表示我们关注的子树仍然是这一层的那一棵。以及,C 表示染色操作,R 表示旋转操作。

其中,任何一个情况都可以作为一个初始情况。所以可以数出,到达 finish 的路径中,最多出现 2 次 Rotation(case 2 -> case 3 -> finish)。


删除#

关于删除操作,下面这个视频讲的很清晰!只不过 case 1 可能还有些细节需要注意。

👉 红黑树快速入门 - 04删除

要删除某个节点 x,我们首先要找到它,在 BST 中找到某个 x 的开销为 \(O(\log N)\)。接下来我们要删除这个任意位置的节点,这势必让红黑树的结构发生变化。此外,红黑性质的维护也是一个让人头疼的问题,因此,我们对这些情况做分类讨论:

没有非NIL子节点 有一个非NIL子节点 有两个非NIL子节点
直接用NIL替代 直接删除,用子节点替代它 将值与左子树最大值或右子
树最小值交换,颜色不换,
然后删除目标点

其中,每一项操作都会导致一个点的消失(毕竟是删除),而如果消失的是红色节点,那么将不会影响黑高;而如果消失的是黑色节点,那么将会导致黑高减少一,此时我们需要做进一步操作。

  • TODO: 这里需要配图讲清楚节点的具体变换到底是怎么样的,尤其是节点颜色变化到底是怎么一回事,之后大概需要重写

说明

虽然我想尽可能拟合 cy 的 ppt,但是我第一遍实在没看懂,所以 case 的编号我就按照上面那个视频来了。

这是 case 序号的对应关系:

my cy's my cy's
case 1 case 2 case 2 case 4
case 3 case 3 case 4 case 1

我们根据情况,将情况分为四种:

需要做一下简单说明,类比我们在#插入,在删除过程中也存在需要向上递归的情况。与「被插入的红色节点」类似的,我们这里的「需要被删除的目标点」,也应当被看作「导致调整出现的子树」,更进一步的,可以定义成「由于删除了某个结点,黑高 -1 的子树」,请记住这个定义,这会让之后的递归操作变得自然。

何时删除那个结点?

虽然我们对「需要被删除的目标点」进行了递归的扩展定义,但是在第一层我们就可以直接将它删掉了。而这个点被删除造成的影响,已经由「由于删除结点,黑高 -1 的子树」继承了。

在之后的配图中,我们都不会展示 x 是如何被删掉的,而是在结果图中保留 x。如果说 x 就是我们一开始要删除的那个点,那么我们应当删掉 x,直接换成 NIL;如果 x 是在传递过程中,表示「黑高 -1 的子树」的根,那么不用做额外处理。

类似于我们在「Insertion / case 3」里提到的“下放”黑节点,删除操作的思路基本上是“上放”黑节点,或者说“吸纳”黑节点。这个“吸纳”的行为,指的是一个黑点,原来只为右子树中的所有路径提供了黑高,现在由于它的 sibling 子树中少了一个黑色节点,我们将这个黑色节点转移到它们的家长节点节点,于是这个节点同时为左右子树的所有路径都贡献了黑高。

接下来我们逐个分析变化:

Deletion / case 1

虽然大部分教程都把 case 1 当作一个 case,但是我觉得完全可以把它按照 a 节点的红黑,分为两种情况。

Deletion / case 1.1

当 a 为根时,由于 x 贡献了(相对于原红黑树)-1 的黑高,为了保证整个子树贡献的黑高不变,我们考虑把 w 的黑高“上放”到 a 上,也就是从下面“吸纳”上来。

Deletion / case 1.2

当 a 为根时,我们没有空余的位置来“吸纳” w 的黑高,但是左子树和右子树的不平衡是必须解决的,而我们绝不能寄希望于“在不知道有没有红色节点的 b 和 c 的子树中去寻找红色节点”这个想法。

所以我们可以仿照「Insertion / case 3」,将整个树标记为灰色——「由于删除结点,黑高 -1 的子树」,然后进一步根据其家长节点的情况递归到其他 case。其中,当我们递归到 a 是整个树的根时可以退出,因为这相当于整个树的黑高 -1,不影响红黑性质。

Deletion / case 2

画不动图了,先语言描述一下。

  1. 将 w 染为 a 的颜色,再将 a 和 c 染成黑色;
  2. 将 a 左旋,使 w 成为这个子树新的根,a 成为 w 的左儿子,b 成为 a 的右儿子;
  3. 调整结束;

Deletion / case 3

画不动图了,先语言描述一下。

  1. 交换 b 和 w 的颜色;
  2. 将 w 右旋,使 b 成为 a 的右儿子,w 成为 b 的右儿子,b 的右儿子成为 w 的左儿子;
  3. 此时情况转化为 case 2;

Deletion / case 4

画不动图了,先语言描述一下。

  1. 交换 a 和 w 的颜色;
  2. 将 a 左旋,使 w 成为这个子树新的根,a 成为 w 的左儿子,b 成为 a 的右儿子;
  3. 此时根据子树 a 的情况,转化为 case 1.1 / case 2 / case 3;
graph LR; A1["case 1.1"] A2["case 1.2"] B["case 2"] C["case 3"] D["case 4"] E["finish"] A1 --->|"C"| E A2 ===>|"C"| A1 A2 ===>|"C"| A2 A2 ===>|"C"| B A2 ===>|"C"| C A2 ===>|"C"| D C --->|"C&R"| B --->|"C&R"| E D ===>|"C&R"| A1 D ===>|"C&R"| B D ===>|"C&R"| C
graph LR; A["case 1"] B["case 2"] C["case 3"] D["case 4"] E["finish"] A --->|"C\nfrom case 1.1"| E A ===>|"C\nfrom case 1.2"| A A ===>|"C\nfrom case 1.2"| B A ===>|"C\nfrom case 1.2"| C A ===>|"C\nfrom case 1.2"| D C --->|"C&R"| B --->|"C&R"| E D ===>|"C&R\nto case 1.1 "| A D ===>|"C&R"| B D ===>|"C&R"| C

注意,状态机中的粗线表示转换过程中,我们关注的“子树”向上或向下转移了一级(由 case 4 出发时下降,由 case 1.2 出发时上升);而细线表示我们关注的子树仍然是这一层的那一棵。以及,C 表示染色操作,R 表示旋转操作。

其中,任何一个情况都可以作为一个初始情况。所以可以数出,到达 finish 的路径中,最多出现 3 次 Rotation(case 4 -> case 3 -> case 2 -> finish)。


根据前面状态机的相关内容,我们不难得到这张表格,它统计的是 Rotation 在不同数据结构、不同操作中出现的数量:

Option AVL Tree RB Tree
Insertion \(\leq 2\) \(\leq 2\)
Deletion \(O(\log N)\) \(\leq 3\)

B+ Tree#


概念#

B+ 树是一种用树状形式维护有序数列比较信息的数据结构,其增改操作拥相对于二叉树结构更加稳定的对数时间复杂度,通常用于数据库和操作系统的文件系统中。

B+ Tree

如下图就是一颗 \(M=4\) 的 B+ 树,可以对照着这个例子来理解性质。

更一般地来说,B+ 树满足如下性质:

property of B+ Tree

\@cy's PPT

  1. The root is either a leaf or has between \(2\) and \(M\) children.
  2. All nonleaf nodes (except the root) have between \(\lceil M/2 \rceil\) and M children.
  3. All leaves are at the same depth.

Assume each nonroot leaf also has between \(\lceil M/2 \rceil\) and \(M\) children.

所有真实的数据都被存储在叶子结点中,形成一个有序的数列。而非叶子结点中第 i 个键值等于其第 i+1 棵子树的最小值(在上图中表现为颜色相同的一对上下结点),因此非叶结点最多存 \(M-1\) 个值。

发现

于是我们发现这样一个性质:在存储数值不重复的情况下,非叶结点存储的键值都不相同。

证明很简单,对于任意一个非叶子结点,它存储的值必定不会被它的子节点存储(如果它的子节点不是叶子),因为它存的是它的子节点的第一个子树的最小值,而它的子节点存的是第二个子树开始的最小值。

我们称这样的树为一个 \(M\) 阶(order) B+ 树。对于常见的 \(M\),比如一棵 \(4\) 阶 B+ 树,我们也称之为一棵 2-3-4 树,一般 \(M\) 的选择为 3 或 4。

特别说明,对于 B+ 树,将它的叶子结点拼接起来,实际上就是一个有序数列。

抽象地来说就是,我们把一个数列相对均匀的分为 \(m\) 块,然后把分界的数拿出来。当我们去查找或插入时,只需要和这些边界数进行比较,就知道它应该放在哪一块里。再不断细化粒度,用类似于“\(m\) 分”的思想来找到目标位置。

在我看来这个定义非常清晰,就是将整个序列按照不同粒度划分,然后由大到小进行逼近。

depth of B+ Tree

由于它在空间最浪费的情况下是一棵 \(\lceil M/2 \rceil\) 叉树,所以 B+ 树的深度是 \(O(\lceil \log_{\lceil M/2 \rceil} N \rceil)\)


操作#

由于 B+ 树的性质十分自然,所以它的操作从思想层面上来说也非常简单。其更多的难度在于实现上。

关于实现的建议

由于 B+ 树关于内部节点和叶子的定义十分割裂(虽然红黑树叶也很割裂,但是毕竟红黑树的叶子不需要什么操作,但是 B+ 树需要),所以在实现过程中会遇到一些麻烦。

我个人建议,如果你十分熟悉 oop,那么可以尝试用多态来解决这个问题。反正我实现 B+ 树的时候对 cpp 的 oop 我说不上十分熟练,所以我直接无脑使用 struct with tag 实现了。

而在开始写代码之前,我强烈建议大家按照我下面做图的格式,模拟一遍各个操作!并在模拟过程中,观察数据的流动以及节点的结构变化。

此外,在讨论这些操作时,先让我们忽略如何从空建立起一个 B+ 树。


查找#

和二叉树的查找十分相似,所以这里只模拟一下举个例子。

例如,我们在上面这棵树中找 43 这个值,橙色部分表示我们的焦点。

Find(43)

我们发现有 \(21 \leq 43 < 48\),所以顺着标识的橙色指针向下。

我们发现有 \(41 \leq 43\),所以顺着标识的橙色指针向下。

已经走到叶子结点,最后发现我们要找的 43


插入#

插入的方法也相对朴素简单,就是找到该插入的地方以后插入即可。

只不过需要注意一件事,当这个插入,导致了 B+ 树的性质不再成立时,即导致其家长节点的子节点数量为 \(M+1\) 时,我们需要将这个结点平均分裂成两个,此时显然有两个子树的节点数量都不小于 \(\lceil M+1 \rceil\)。但这还不够,分裂导致家长节点的家长节点的子节点变多,所以我们还得向上递归。

依然是进行一个模拟,我们模拟插入 4644

Insert(46), no split

同查找,略。

同查找,略。

找到要塞的位置了,发现要塞的地方是 45 的后面,插入以后发现一共 4 个数,而 \(M=4\),不需要分裂。

Insert(44), split

同查找,略。

同查找,略。

找到要塞的位置了,发现要塞的地方是 45 的前面,插入以后发现一共 5 个数,而 \(M=4\),需要分裂!

向上递归,我们悲痛地发现,这个节点在分裂后有了 5 个子节点,不得不再次分裂。

向上递归,我的老天爷呀,怎么还没到头!这下我们要分裂根部了!

由于根部被裂开了,所以我们需要添加一个新的根,这也意味着树的层数增高了。

现在,我们终于完成了插入。


Last update: 2024年3月9日 19:18:55
Created: 2024年3月4日 10:28:36